曲率公式是怎么推导的？

一、曲率公式是怎么推导的？

总之微积分的初学者会看到微分运算的用途还是很大的, 关于微积分你可以就按照我下面那些感性的理解先用着, 以后会学到严谨的极限定义的. 然而实际上再往后的生活中好像也没谁会去那么强调极限定义了, 知道是那么回事就行了.

下面的推导中我应该没有跳过任何哪怕是运算上的步骤, 如果你觉得这个内容仍然有一定的挑战性也是正常的, 毕竟我中学的时候应该完全看不懂这些; 如果你觉得这个推导过于细致了也是正常的, 因为这确实只是一些完全没有思维量的简单玩意儿.

对于一条曲线我们可以研究其曲率, 也即弯曲程度. 直观来想, 以一条连续光滑曲线上无限接近的两个点为端点的一段弧总应该可以看作是某圆上的一段弧. 这个圆的半径就被定义为曲线在这一点的曲率半径. 而曲率则被定义为曲率半径的倒数.

至于说为何总可以看作是某圆上的一段弧, 可以简单的认为是曲率半径在连续光滑曲线上不会发生突变, 所以在某点的无穷小领域内曲率半径可以看作是一个常量, 事实上这就是光滑的含义.

如何求曲率半径呢? 我们可以回想第一次接触弧度制时是怎么定义弧度的. 弧度是圆弧长与该圆半径的比值对吧? 既 , 显然当 既整个圆周长时弧度为

那么显然曲率半径很自然的可以定义为 , 既无穷小的一段弧长与其相对应弧度的比值.

知道这些我们就可以计算出任意一条连续光滑曲线 在任意一点的曲率半径了.

为了能使用最简单的运算步骤, 我们要先研究一个几何关系:

如图, 既光滑曲线上无限逼近的两点, 当然我们这里使用了夸张的表现手法. 其它量如图标示.

显然在四边形 中有俩直角, 所以 则与其对角互补. 所以其对角的补角

这下子就好办了, 一下子我们就有办法求出 中的 了.

求 dα :

怎么求呢? 还记得曲线的斜率是啥吗? 斜率就是其切线在这一点与水平线夹角的正切值, 那么图上曲线在 两点的斜率自然就分别是 与 了. 而我们想要的正是这俩倾斜角的差值即 ^[1].

那太简单了, 已知 , 我们对其求微分即得:

这样一来就有:

求 dS :

这个没什么说的, 就是对弧长进行微分, 被称之为弧微分. 硬要说一下的话就是用线段 来代替弧 , 因为当这俩点无限趋近的时候, 它们基本上就没啥区别了, 也就是取一阶近似或者说线性近似的意思.

设 , 线段 的长度很好算的, 勾股定理罢了:

将 与 代入公式:

加一个绝对值, 因为呃... 反正曲率半径就是被定义是一个正数, 暂且没啥必要牵扯到负数.

而曲率就是曲率半径求一个倒数, 即

下文有关于这套诡异操作的具体解释:

二、进口货物为什么要交纳消费税呢？

我想你理解错了，正常我们销售时缴纳消费税的账务处理是这样的。

借：营业税金及附加

贷：应交税费-应交消费税

借：应交税费-应交消费税

贷：银行存款

那么报关的时候如果像你所说

借：应交税费-应交消费税

贷：银行存款

那么这个消费税，除非你用于连续生产的应税消费品的时候，可以不结转，否则你就必须要将其结转出来，结转到哪里？不是销售业务只能结转到产品成本。

所以只能是

借：库存商品

贷：应交税费-应交消费税

由于报关的时候，相关的税费海关代征，你一次都交了，所以很多时候就把两步合成一步了

借：库存商品

贷：银行存款

不是不走应交税费而是你自己节省这个环节。

三、包角计算公式是怎么推导的？

(d2-d1)/a 约等于图中西塔角的两倍，这是因为西塔角极小时直角三角形的短边和圆弧相近。57.3度是把弧度制转为角度制。

四、进口100万的货物，消费税和增值税怎么算？

进口货物的增值税=（关税完税价格+关税+消费税）X增值税税率，增值税税率一般为17%。

五、面积公式的推导？

周长公式是利用绳子量大小不同的圆,发现周长总是圆的直径的3倍多一些.

还有就是在尺子上滚动一圈,得到周长,也发现周长总是圆的直径的3倍多一些.

于是就得到圆的周长=圆周率*直径=2*圆周率*半径.

面积公式是把圆片对这,分成两个半圆,ba每个半圆沿圆心等分成若干份（越多越好）,拼成一个近似的长方形,长方形的长就是圆的周长的一半,宽就是圆的半径.

面积=圆周率*半径*半径

六、梯形的推导公式？

梯形的面积推导过程；是把两个完全相同梯形拼成一个平行四边形．那么平行四边形的底等于梯形的上下底之和，高等于梯形的高，平行四边形底面积等于梯形面积的2倍。即：梯形面积＝平行四边形面积÷2＝（上底＋下底）×高×2

七、逸出功的推导公式？

当光子的频率强度小于等于临界点时，电子动能E=1/2mv²为0，得w₀=hv。

W₀称为金属电子的逸出功，其常用单位为电子伏特(eV)，它表征要使处于绝对零度下的金属中具有最大能量的电子逸出金属表面所需要给予的能量

八、AIC公式的推导？

AIC实际上是对样本内误差（In Sample Error）的估计量，即在训练样本的基础上，保持自变量不变，观察到一组新的Y‘ （我没看明白这里新的Y‘是根据Y的分布随机生成的，还是根据Y在自变量X的条件分布生成的），然后计算模型在这个新样本中得到的误差的期望值。见Element of Statistical Learning, P229-P232.

如果用的是平方损失函数，系数中的-2来自于E(y-f(x))^2的中间项-2y*f(x)。

Optimism bias - estimates of prediction error

如果是对数似然损失函数，系数中的-2来自于离差前面的-2.

Deviance (statistics)

九、升幂公式的推导？

升幂公式：

sinx=2sin(x/2)cos(x/2)

cosx=2cos^2(x/2)-1=1-2sin^2(x/2)=cos^2(x/2)-sin^2(X/2)

tanx=2tan(x/2)/[1-tan^2(x/2)]

降幂公式：

cos²x=(1+cos2x)/2 sin²x=(1-cos2x)/2 tan²x= sin²x / cos²x=(1-cos2x)/(1+cos2x)

十、兀的推导公式？

古人计算圆周率,一般是用割圆法.即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度.这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好.马青公式 π=16arctan1/5-4arctan1/239 这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现.他利用这个公式计算到了100位的圆周率.

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